向量入门

向量

向量是既有大小，又有方向的量。

零向量记作 \(\vec 0\)。单位向量满足 \(|\vec e|=1\)。

向量加法：平行四边形法则。向量加法满足交换律和结合律。

向量减法：\(\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)\)。

向量也可以用坐标表示。

向量乘法：记 \(\vec a\) 和 \(\vec b\) 形成夹角 \(\theta\)，则：

• 向量点乘：\(\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta\)。
  其物理意义为 \(\vec a\) 在 \(\vec b\) 方向做的功。 $\((x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=x_1x_2+y_1y_2\)$
• 向量叉乘：\(\vec a\times\vec b=|\vec a||\vec b|\sin\theta\)。
  其几何意义为 \(\vec a\) 与 \(\vec b\) 所夹的面积。

\[(x_1,y_1)\times(x_2,y_2)=x_1y_2-y_1x_2\]

向量叉乘没有交换律，但是点乘有。

通过点乘，我们可以发现 \(\vec{v_1}=(x_1,y_1),\vec{v_2}=(x_2,y_2)\) 夹角为 \(\cos\theta=\dfrac{\vec{v_1}\cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}||\vec{v_2}|}=\dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\).