函数入门
即映射关系。
定义函数 \(f\)：设集合 \(A,B\)，若按照关系 \(f\)，对于 \(A\) 中的每一个元素，在集合 \(B\) 中都有一个元素与之对应，则称：
为一个函数。
通常使用数集，可以记为 \(y=f(x)(x\in A,y\in B)\)。
\(f\) 的定义域为 \(A\)，值域为 \(\set{y|y\in B,\exists x\in A,f(x)=y}\)。
性质
有些函数可能有如下性质：
- 单调性：对于一段区间 \(T\subset S\)，\(\forall x_1,x_2\in T,x_1<x_2,f(x_1)<f(x_2)\)。
- 奇偶性：
- 偶性质：\(f(x)=f(-x)\)；
- 奇性质：\(f(x)=-f(-x)\)。
- 周期性：如果存在 \(T\)，满足 \(\forall x,f(x)=f(x+T)\)（\(x,x+T\) 都在定义域内），则称 \(f\) 具有周期性，\(T\) 是其周期。一般我们用的是最小的正整数 \(T\)。
可以用图像研究函数。
初等函数
- 一次函数：\(kx+b\)；
- 二次函数：\(ax^2+bx+c\)；
- 反比例函数：\(\frac{k}{x}\)；
- 幂函数：\(x^a\)；
- 指数函数：\(a^x\)；
- 对数函数：\(\log_a x\)。
- 三角函数：\(\sin,\cos,\tan\)。
还有分段函数。
关于三角函数，有如下性质：
- \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\)；
- 关于 \(\cos\) 和 \(\sin\) 的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
- 和差角公式：
- \(\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y\)；
- \(\sin(x+y)=\cos x\sin y+\sin x\cos y\)。
- 旋转坐标轴：
- 将 \((x,y)\) 所在的坐标轴旋转了 \(\theta\) 后，坐标会变成 \((x\cos\theta-y\sin\theta,x\sin\theta+y\cos\theta)\)。
导数
\(f(x)\) 的导数等于 \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)。
导数也可进行四则运算：
- 若 \(h(x)=f(x)+g(x)\)，则 \(h'(x)=f'(x)+g'(x)\)。
- 若 \(h(x)=f(x)\cdot g(x)\)，则 \(h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)。
- 若 \(h(x)=f(g(x))\)，则 \(h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\)。
- 若 \(h(x)=\frac1{g(x)}\)，则 \(h'(x)=-\dfrac{g'(x)}{[g(x)]^2}\)。
初等函数的导数：
- 若 \(f(x)=kx\)，则 \(f'(x)=k\)；
- 若 \(f(x)=x^2\)，则 \(f'(x)=2x\)；
- 若 \(f(x)=x^n\)，则 \(f'(x)=nx^{n-1}\)；
- 若 \(f(x)=a^x\)，则 \(f'(x)=a^x\ln a\)；
-
证明：
\[\begin{aligned}(a^x)'&=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}\\&=a^x\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}\end{aligned}\]然后就是要求 \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}\)，不妨令 \(t=a^{\Delta x}-1\)，则 \(\log_a(t+1)=\Delta x\)，于是：
\[\begin{aligned}\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}&=\lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{t}{\log_a(t+1)}\\&=\lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac1{\frac1t\log_a(t+1)}\\&=\lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac1{\log_a(t+1)^{\frac1t}}\\&=\frac1{\log_ae}=\ln a\end{aligned}\]不难发现，\(a=e\) 时，\(\ln e=1\)，所以 \((e^x)'=e^x\)。
-
\(f(x)=\log_ax\)，则 \(a^{f(x)}=x\)，两边取导，则 \(a^{f(x)}\cdot f'(x)\ln a=1\)。所以 \(f'(x)=\frac 1{x\ln a}\)。
同理可得，\(a=e\) 时，\(\ln e=1\)，所以 \((\ln x)'=\frac1x\)。 -
三角函数：
\(\sin'(x)=\cos x\)；
\(\cos'(x)=-\sin x\)；
\(\tan'(x)=1+\tan^2x\)。
洛必达法则：如果在 \(\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\) 中，\(f(a)=g(a)=0\)。那么：
利用导数，可以得到：
其中，\(c_i=\dfrac{f^{(i)}(0)}{i!}\)，\(f^{(i)}\) 表示 \(f\) 的 \(i\) 阶导。
比如，\(e^x=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\dfrac{x^i}{i!}\)。特别的，\(0^0=0\)。
\(e^{ix}=\cos x+i\sin x\)。令 \(x=\pi\)，\(e^{i\pi}=-1\)。